Peut-on être normal sans être normal ?

It's a fake !
It's a fake ! ©Getty - Constantine Johnny
It's a fake ! ©Getty - Constantine Johnny
It's a fake ! ©Getty - Constantine Johnny
Publicité

Comment un énoncé peut-il être aussi vrai que son contraire : le paradoxe du menteur

Des idées claires et distinctes - des idées "à la Descartes", si vous préférez - même lorsqu’elles sont correctement manipulées, sans la moindre erreur de logique, peuvent engendrer de quoi casser les os des cerveaux les mieux charpentés.

Prenez le paradoxe dit "de Russell", énoncé par le grand logicien Bertrand Russell (qui fut aussi prix Nobel de Littérature ), au tout début du XXe siècle. Russell part de deux notions a priori simples et faciles à définir, celle d’ensemble d’une part, celle d’élément d’un ensemble d’autre part : un ensemble se définit par le fait qu’il contient des éléments ; un élément se définit par le fait qu’il appartient à un ensemble. Russell propose ensuite de classer les ensembles en deux catégories : d’un côté, les ensembles dits "normaux", de l’autre les ensembles dits "non normaux".

Publicité

Qu'appelons-nous un ensemble normal ?

Un ensemble normal est un ensemble qui ne se contient pas lui-même comme élément. Prenons l’exemple de l’ensemble des physiciens : il n’est pas lui-même un physicien, donc l’ensemble des physiciens ne se contient pas lui-même comme élément, donc c’est un ensemble normal (même si certains de ses éléments, je vous le concède) sont bizarres). De la même façon, l’ensemble des personnes qui ont le trac n’est pas une personne, et en plus cet ensemble n’a pas le trac. Il ne se contient donc pas lui-même comme élément. Il est normal. Un ensemble non normal sera le contraire, c’est-à-dire un ensemble se contenant lui-même comme élément. Par exemple, l’ensemble de toutes les idées abstraites est lui-même une idée abstraire, donc il se contient lui-même comme élément. Il est donc non normal.

Jusque-là, tout va bien. Mais maintenant, appelons N l’ensemble de tous les ensembles normaux. La question à ne pas poser si l’on veut éviter les ennuis est celle-ci : N est-il un ensemble normal ou un ensemble non normal ? Examinons les deux possibilités l’une après l’autre. Première possibilité : N est normal. Cela veut dire qu’il fait partie de l’ensemble de tous les ensembles normaux, donc il fait partie de lui-même, dont N se contient lui-même comme élément, donc il est… non normal ! Seconde possibilité : N est non normal. Cela veut dire qu’il se contient lui-même comme élément, par définition, donc il est normal puisque N est l’ensemble de tous les ensembles normaux ! Bref, N est normal si et seulement si N est non normal… C’est carrément paranormal ! Nous voici catapultés en deux coups de cuiller à pot dans un monde étrange où un énoncé peut être aussi vrai que son contraire… Cela ne vous rappelle rien ? (...)

La chronique est à écouter dans son intégralité en cliquant sur le haut de la page. Histoire, économie, sciences, philosophie, histoire de l'art… Écoutez et abonnez-vous à la collection de podcasts "Le Pourquoi du comment" ; les meilleurs experts répondent à toutes les questions que vous n'osez poser.

L'équipe